IN DE BAN VAN DE WISKUNDE

1       Probleemoplossende vaardigheden

Het kunnen oplossen van problemen is een belangrijke troef voor het verdere leven, zowel maatschappelijk als beroepsmatig. Naast kennis en inzicht behoren het verwerven van de nodige vaardigheden en attitudes tot de algemene doelstellingen van ons wiskundeonderwijs. De leerlingen kunnen in de wiskundevorming bij het aanpakken van problemen, in het bijzonder het oplossen van vraagstukken, belangrijke probleemoplossende vaardigheden verwerven. Wiskunde leent zich daar uitstekend toe, omdat enerzijds probleemoplossende vaardigheden zichtbaar worden in eenvoudige, heldere situaties. Anderzijds biedt wiskunde de gelegenheid om trapsgewijze de moeilijkheidsgraad in het proces op te voeren. Het biedt de mogelijkheid tot het aanpakken van echte probleemsituaties, zonder dat de complexiteit tot ontmoediging moet leiden.

1.1    Basisonderwijs

In het leerplan van het basisonderwijs (p. 22) lezen we dat het streefdoel voor het leergebied wiskunde is dat de leerlingen de nodige competenties (kennis en kunde) en de juiste ingesteldheid tot op een zekere hoogte verwerven en integreren.

Dit leerplan bevat o.a. de volgende krachtlijnen.

-             Het wiskundeonderwijs in de basisschool heeft onder meer als doelstelling wiskundige vaardigheden te verwerven die nodig zijn om dagdagelijkse praktische problemen aan te kunnen. Het leerplan streeft ernaar dit aspect duidelijk te maken voor de leerlingen. Zo wordt gestreefd naar een positievere houding ten opzichte van wiskunde.

-             Vertrekken van betekenisvolle situaties en opgaven en intuïtieve inzichten is een belangrijk uitgangspunt. Veel belang wordt gehecht aan het begrijpen van een probleem en de vertaling naar de wiskunde. Schatten, interpreteren van resultaten en het nuttig gebruik van een zakrekenmachine als hulpmiddel en controlemiddel komen geregeld aan bod.

-             Er is ruimte voorzien voor het inoefenen, automatiseren en verwerven van parate kennis.

-             Veel nadruk ligt op inzicht in de opbouw van formules en algoritmen en op het gebruik maken van deze inzichten om zelf nieuwe formules af te leiden.

-             De vaardigheden, strategieën en attitudes waarover de leerlingen dienen te beschikken, gelden voor de verschillende domeinen van het leergebied wiskunde: getallenkennis, bewerkingen, meten en metend rekenen, meetkunde. Omdat die vaardigheden, strategieën en attitudes de leerdomeinen overschrijden, noemen we ze domeinoverschrijdende doelstellingen. Hier gaat de aandacht naar algemeen toepasbare strategieën die de leerlingen kunnen gebruiken, naar reflectie over het toepassen van wiskunde en naar een positieve houding ten opzichte van wiskunde.

-             Aan de actieve inbreng van de leerlingen wordt veel waarde gehecht. Leerlingen brengen oplossingswegen aan en leren verschillende oplossingswegen vergelijken.

De leraren die lesgeven in de eerste graad B zullen ongetwijfeld heel wat inspiratie voor ‘probleemoplossend denken’ vinden in de vragen van de Koala-wedstrijd.

1.2    Eerste graad

Het nieuwe leerplan voor de eerste graad A-stroom trekt deze lijn verder door. Indien je wilt dat de leerlingen vraagstukken flexibel aanpakken, dan bied je best vraagstukken en problemen gespreid doorheen het jaar aan. Dit kan bv. via een probleem van de week of een probleem (als extra) bij huistaken.

Belangrijk hierbij is dat de leerlingen systematisch te werk gaan en verschillende fasen doorlopen:

- de fase van het exploreren van de opdracht;

- de fase van het mathematiseren;

- de fase van de wiskundige verwerking;

- de fase van het formuleren van een oplossing van het probleem;

- de fase van het reflecterend terugkijken.

Een ander schema dat hierbij nauw aansluit is het zogenaamde OVUR-schema (oriënteren, verkennen, uitvoeren, reflecteren). We verwijzen in dit verband naar het nieuwe leerplan (p. 29). Het is zinvol leerlingen af en toe in groep op een probleem te leren zoeken. Leerlingen kunnen immers heel wat van elkaar leren. Ook het vergelijken van verschillende oplossingsstrategieën zal een meerwaarde opleveren.

Hieronder vind je enkele inspirerende opgaven uit de Wallabie-wedstrijd 2009, waarin o.a. de parate meetkunde- en getallenkennis, het ontdekken van regelmaat in patronen en het ruimtelijk inzicht worden getest.

1.3    Tweede graad

In de tweede graad verwerven leerlingen heel wat nieuwe kennis en oplossingstechnieken en worden ze geconfronteerd met het toepassen van deze kennis in diverse situaties. In deze fase leren de leerlingen zoekstrategieën en heuristische methoden gebruiken.

Voorbeelden van veel gebruikte heuristische methoden zijn:

-          gegeven en gevraagde wiskundig expliciteren;

-          bij een gegeven situatie een schets of een tekening maken;

-          bij een gegeven situatie een voorbeeld of een tegenvoorbeeld geven;

-          bij een situatie bijzondere gevallen onderzoeken;

-          gebruik maken van analogie, symmetrie …;

-          een eenvoudiger probleemstelling onderzoeken;

-          een of meer veranderlijken in het probleem constant houden;

-          een gestelde voorwaarde laten vallen;

-          het probleem voorstellen als opgelost.

Bij een complexer probleem is het zinvol in deze fase een planmatige aanpak te voorzien en de uitvoering van het plan verderop te bewaken. Uiteraard probeer je de leerlingen een onderzoeksgerichte en kritische houding bij te brengen. Leerlingen moeten beseffen dat een oplossing die ze via ICT-gebruik (de grafische rekenmachine of de computer) vinden, vaak ook via algebraïsch rekenwerk kan gevonden worden en dat voor bepaalde meetkundige problemen zowel een analytische als een synthetische aanpak mogelijk is.

1.4    Derde graad

In de leerplannen van het VVKSO voor de derde graad is het onderdeel ‘mathematiseren en oplossen van problemen’ opgenomen.

Voor de tso-/kso-studierichtingen is dit een verplichte leerplandoelstelling. In de aso-richtingen staat ‘mathematiseren’ als keuzeonderwerp vermeld.

De leerplandoelstellingen zijn als volgt verwoord:

Het is de bedoeling dat de leerlingen, door het verwerken van problemen met behulp van wiskunde, zich realiseren dat wiskunde meer is dan een stel regels, maar effectief kan ingezet worden om problemen uit het dagelijkse leven op te lossen of tenminste om er inzicht in te verwerven.

In het leerplan voor de derde graad aso staat voor de studierichtingen met component wiskunde het onderwerp ‘onderzoekscompetenties’ als een verplicht onderdeel op het programma. Door de leerlingen te leren mathematiseren en problemen aanpakken, bereid je ze voor op het aanpakken van onderzoeksopdrachten.

De kerndoelstellingen bij het onderwerp onderzoekscompetenties zijn:

In de twee leerjaren van de derde graad zou hieraan ongeveer 4% van de lestijden moeten besteed worden. Dit komt neer op een totaal van ongeveer 12 lestijden. Uiteraard kun je hiervoor best een opdracht (of een paar opdrachten) voorzien in het vijfde en in het zesde jaar.

Bij het mathematiseren en het verwerven van probleemoplossende vaardigheden en onderzoekscompetenties is functioneel ICT-gebruik vaak aangewezen. Hierbij mag je ook het verwerven van taalcompetentie niet uit het oog verliezen: het omschrijven en verwoorden van de onderzoeksvraag, het begrijpen en juist kunnen interpreteren van de gevonden informatie en een heldere rapportering.

2       Functioneel ICT-gebruik in de wiskundeles

In het nieuwe leerplan wiskunde voor de eerste graad A, dat vanaf 1 september 2009 progressief in voege treedt, lezen we bij de ‘minimale materiële vereisten’:

“Tijdens de wiskundelessen en in het bijzonder de meetkundelessen is de beschikbaarheid van een behoorlijke ICT-ondersteuning een noodzaak (computer of laptop, beamer, software, applets). Het is aan de scholen zelf om uit te maken op welke concrete wijze dit gerealiseerd wordt, bijvoorbeeld een aantal lestijden vast gepland in een computerklas, de vlotte beschikbaarheid over transporteerbaar materiaal voor demonstratie, een computerhoek in de klas, een flexibele omwisseling van klassen en lessen … binnen het lesrooster. Wil ICT in wiskunde meer worden dan een extra speelmoment, willen in de wiskundevorming de vele mogelijkheden van de digitale didactiek gebruikt worden en wil wiskunde bijdragen tot de realisatie van de vakoverschrijdende eindtermen ICT, dan is een quasi permanente beschikking over ICT-infrastructuur een belangrijk streefdoel voor de toekomst. De vakgroep zal hier overleg plegen om deze middelen zo professioneel mogelijk in te zetten en een ICT-implementatieplan opstellen.”

De uitgeverijen komen tegemoet aan de ICT-vereisten zoals in het leerplan vermeld. Ze bieden applets en internetlinks aan ter ondersteuning van bepaalde leerstofonderdelen. Ze stellen bordboeken voor waarmee de leraren de boeken kunnen projecteren met een beamer op digitale of andere borden.

Deze tendens zal zich uiteraard niet beperken tot de eerste graad, maar zal wellicht binnenkort in alle graden intreden. We staan dus voor een grote uitdaging.

Bovendien zetten we ICT niet alleen in voor demonstratieve doeleinden. Het actieve gebruik van grafische rekenmachines en/of computers door de leerlingen, blijft uiteraard zijn meerwaarde behouden. ICT is een onmisbaar hulpmiddel tijdens de wiskundelessen en heeft uiteraard een invloed op de manier waarop de leerinhoud wordt behandeld.

Maar naast ICT-gebruik blijft zeker één van de belangrijke taken van de leraren erover te waken dat de leerlingen beschikken over een vlotte rekenvaardigheid in die situaties waarin ze voordelig is. We moeten de leerlingen dus af en toe verbieden hun toevlucht te nemen tot ICT. Het komt er op aan leerlingen vertrouwd te maken met het verantwoord kiezen van de werkwijze, naargelang de situatie die zich aandient en heel zeker ook naargelang hun eigen intrinsieke mogelijkheden. We pleiten dus voor een functioneel gebruik van ICT waardoor het inzicht in de leerstof toeneemt.

Andre Van der Spiegel, erevoorzitter van de leerplancommissie wiskunde, schrijft het volgende in verband met de didactische functionaliteit van ICT:

“Leerlingen laten zich nogal eens verleiden tot blindelings geloof in de machine. Ze gebruiken ze ook als de eenvoud van het rekenwerk niet echt de inzet ervan vergt. Goede afspraken over het gebruik zijn dus een noodzaak. We pleiten voor een gebruik in die gevallen ‘waar het handmatige te moeilijk is of zelfs te kort schiet’. Denk hierbij aan het gebruik van ‘realistische getallen’ in vergelijkingen. Meteen stellen we dat leerlingen een ‘normale’ vergelijking nog manueel moeten kunnen oplossen.

We verwijzen niet zonder overdreven heimwee naar de tijd toen een grafiek eerst na een lang zwoegproces via tekentabel, eerste afgeleide en tweede afgeleide op papier kon worden gezet. Er gaan heel wat stemmen op dat elke leerling met enige wiskunde in de vingers dit inderdaad nog moet kunnen. Ik onderschrijf die visie, maar wel als onderbouw van het inzicht in hoe de functionele analyse via afgeleiden … werkt (bv. hoe kom je aan de exacte waarde van een extremum?) Daartegenover staat dat bij het oplossen van vraagstukken, waarbij het gewicht van de vraag niet ligt bij de functieanalyse op zich, maar wel op het mathematiseren en het interpreteren van de verkregen wiskundige oplossing, het misschien niet zo zinvol is om nog een half uur of langer te besteden aan het lange functieonderzoek. Ook die visie onderschrijf ik volledig. Het is dus een kwestie van de doelstelling die men op dat moment nastreeft.”

3       2009: Internationaal Jaar van de Sterrenkunde

In 1609 - precies 400 jaar geleden - maakte Galileo Galilei voor het eerst gebruik van een telescoop om het heelal te observeren. Om dit te herdenken heeft men 2009 uitgeroepen tot het Internationaal Jaar van de Sterrenkunde.

De vakbegeleiders wiskunde – wetenschappen – aardrijkskunde – mavo -informatica van de Diocesane Pedagogische Begeleidingsdienst Brugge nodigen alle leerlingen van de West-Vlaamse scholen uit om deel te nemen aan de DPB-ASTROQUIZ 2009. Meer hierover lees je o.a. in het septembernummer van Kompas.

We hopen dat je hieraan wat aandacht wilt besteden in de lessen. Het is immers een uitstekende kans om heel wat jongeren warm te maken voor wiskunde en wetenschappen.

4       Vlaamse Wiskunde Olympiade

Met enige fierheid publiceren we de resultaten van onze West-Vlaamse deelnemers aan de 8ste editie van de Junior Wiskunde Olympiade (JWO) en de 24ste editie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO).

Oprechte dank aan alle leraren die de leerlingen hebben gestimuleerd om deel te nemen aan deze waardevolle en uitdagende competitie.

5       De vakbegeleider wiskunde op schoolbezoek

Dit schooljaar hopen we weer heel wat collega’s op de werkvloer te ontmoeten bij een school- of klasbezoek of tijdens een vakvergadering.

Aan beginnende leraren vragen we bij een klasbezoek hun persoonlijke agenda, het jaarplan en een lesscenario voor te leggen. Dit is een beknopt schema waarin het lesverloop wordt geschetst (didactische activiteiten, timing …). Het hoeft dus zeker geen volledig uitgeschreven lesvoorbereiding te zijn zoals voor een stageles.

Dit schooljaar willen we bijzondere aandacht schenken aan ervaren leraren. Ongetwijfeld kunnen we heel wat bruikbare didactische tips en suggesties meenemen uit een bijgewoonde les of een nabespreking.

Een ander aandachtspunt voor het vak wiskunde is het functioneel ICT-gebruik.

In overleg met de coördinerend directeurs van de scholengemeenschappen vinden er – net als vorig schooljaar – weer enkele ontmoetingen plaats tussen de mentor-coaches en directies enerzijds en de DPB-vakbegeleiders anderzijds. Het is de bedoeling tot een goede samenwerking en afstemming te komen en op die manier de opvang en begeleiding van leraren te verbeteren. Een vlotte samenwerking komt ongetwijfeld de onderwijspraktijk ten goede.

Geert Delaleeuw

Luc Gheysens

Studie van functies en de analytische meetkunde in het vierde jaar (aso-kso-tso) met GeoGebra

Doelgroep: leraren wiskunde tweede graad aso-kso-tso

Docent: Roger Van Nieuwenhuyze

Datum en uur: woensdag 21 oktober 2009 van 14.00 u. tot 17.00 u.

Plaats: DPB-centrum d'Abdij, Baron Ruzettelaan 435, 8310 Assebroek

Inschrijfprijs: € 15  

Inschrijven kan enkel via www.renvlaanderen.be

TI-Nspire in de tweede graad

Doelgroep: leraren wiskunde tweede graad aso-kso-tso

Docent: Etienne Goemaere

Datum en uur: woensdag 28 oktober 2009 van 14.00 u. tot 17.00 u.

Plaats: DPB-centrum d'Abdij, Baron Ruzettelaan 435, 8310 Assebroek

Inschrijfprijs: € 15  

Inschrijven kan enkel via www.renvlaanderen.be

Dag van wiskunde (tweede en derde graad)

Doelgroep: leraren wiskunde tweede en derde graad

Docent: diverse docenten

Datum en uur: zaterdag 14 november 2009 (voormiddag)

Plaats: K.U. Leuven Campus Kortrijk, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

Inschrijfprijs: € 25  

Cursuscode: S10/015/A

Dag van wiskunde (eerste en tweede graad)

Doelgroep: leraren wiskunde eerste en tweede graad

Docent: diverse docenten

Datum en uur: zaterdag 28 november 2009 (voormiddag)

Plaats: K.U. Leuven Campus Kortrijk, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

Inschrijfprijs: € 25  

Cursuscode: S10/017/A

Een greep uit het ICT-aanbod van Ren-Vlaanderen

“Word” efficiënter gebruiken als leerkracht

Schoolkrant en uitnodigingen met Publisher

Access als praktisch hulpmiddel voor de leerkracht

Back-ups en images met Acronis en Ghost

IPCop, de goedkoopste beveiliging en proxy voor je schoolnetwerk

Mindmappen voor beleidsmensen

Programmeren in PHP

PC-herstelcd’s gebruiken