ODE AAN DE WISKUNDE

 

(Walter De Volder, ped. beg. wiskunde)

 

Als je dit leest ben ik pedagogische begeleider wiskunde af.  Mijn twee voornaamste stokpaardjes gedurende de voorbije elf jaar waren: probleemoplossend denken en het gebruik van ICT.  Deze bijdrage is dan ook een combinatie van beide: een mooi probleem waar wat wiskundige intuïtie en  vindingrijkheid aan de basis liggen, waarbij het wiskundig denken primeert en toch dankbaar gebruik wordt gemaakt van het hulpmiddel dat ICT is.  Laat me toe even poëtisch te worden en je uit te nodigen om samen met mij op stap te gaan voor een wandeling door het fascinerende wiskundelandschap.

 

Als men door een punt P(4,3) twee rechten trekt, die loodrecht op elkaar staan en de x-as snijden in Q en R, ontstaat een vertrouwde figuur.  Op een dag vroeg ik me af hoe de rechte PQ gekozen moet worden opdat de oppervlakte van D PQR gelijk zou zijn aan een vooraf gegeven getal.  En welke waarden dat getal mag aannemen?  En wat de kleinste waarde is ?

 

Bij nader onderzoek bleek dat een rijk probleem te zijn.  Vergelijking van rechten, de kwadratische functie, het oplossen van vierkantsvergelijkingen, eenvoudige rationale functies, goniometrische formules, de metrische eigenschappen en driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek, verschuivingen, merkwaardige producten, Cabri, de GRM, dat alles draagt zijn steentje bij tot de verschillende oplossingen van het probleem.

 

Eerst heb ik wat onderzoek gedaan met Cabri.  Enkele resultaten van dit onderzoek vind je in onderstaande figuur en tabel.  Op alle vragen die ik me gesteld had zag ik meteen het antwoord.  Ik raad de lezer aan dit experiment over te doen vooraleer aan het "serieuze" werk te beginnen.

 

 


 


 

De eerste oplossingsmethode steunt vooral op het gebruik van eenvoudige functies.

 

Zij PQ de stijgende rechte. Dan is rico PQ = m > 0.

 

Vergelijking van de rechten:     PQ:    y - 3 = m (x - 4)           PR:   y - 3 = -1/m (x - 4)

 

Abscis van                                Q :     4 - 3/m                          R:     3m + 4

 

Basis D PQR                             |QR| = (3m + 4) - ( 4 - 3/m) = 3m + 3/m

 

Het cijfer 4 dat in de uitwerking hierboven wegvalt is de abscis van P en die zal verder in het stuk niet meer voorkomen.   Dit is logisch: als men de abscis van P verandert dan verschuift de driehoek langs de x-as.   Die verschuiving heeft geen invloed op de gestelde vragen.

 

Opp(D PQR) =  3/2(3m+3/m) = 4,5(m+1/m)         (F­1)

 

Als die oppervlakte gelijkgesteld wordt aan bv. 12, dan komt er na enig rekenwerk:

 

                3m² - 8m + 3 = 0    met als benaderde oplossingen   m = 2.22 en m = 0.45

 

Stelt men die oppervlakte gelijk aan s, dan komt er :      9m² - 2sm + 9 = 0  (1)

 

Die v.k.v. heeft slechts oplossingen als    s² - 81 ³ 0,  dus als s ³ 9 .                    

 

De minimale waarde voor s is dus 9.   De vergelijking (1) heeft dan één oplossing nl.  m = 1

 

Alle resultaten vind je terug in de Cabri-tabel.

 

Het feit dat de minimale oppervlakte gelijk is aan 9 = 3² (het kwadraat van de ordinaat van P, van de hoogte van de driehoek) is geen toeval.  Ik laat het aan de lezer over na te rekenen dat als men 3 door h vervangt, de minimale oppervlakte gelijk wordt aan h² voor m =1. Een ander bewijs van deze veralgemening vind je verder in de derde oplossingsmethode.

 

Met de GRM kan men die resultaten terug vinden door  de oppervlaktefunctie y = 4.5(m+1/m) in te brengen en de grafiek en de tabel te plotten voor m>0.

 

 

 

 

 

*     *      *

Een tweede oplossingsmethode steunt vooral op de goniometrische formules en valt bijzonder kort uit.  Zij ß de hoek tussen PQ en de positieve x-as.  Zij S het voetpunt van de hoogtelijn uit P.  Dan is:

|QS| = 3 cot ß        en      |SR| = 3 tan ß

 

Opp (D PQR) =  1.3 (3 cot ß  +   3 tan ß) = 4.5(tan ß + cot ß) = 9/ sin 2ß    (F2)

 

De formules (F1) en (F2) voor Opp(D PQR) zijn identiek, want m = tan ß.

 

De oppervlakte is minimaal als sin2ß = 1, dus als ß = 45° en heeft 9 als waarde.

 

Wil men dat   Opp (D PQR) = 12   dan moet ß voldoen aan   sin2ß = 0.75.  Oplossingen zijn

 

ß = 24° 17'  43"    en   ß = 65°  42'  17"

 

Neemt men de tangens van deze hoeken van vindt men de eerder gevonden waarden  0.45 en 2.22 voor m terug.

 

*     *      *

 

Een deel van het probleem, namelijk   de vraag naar de driehoek met minimale oppervlakte kan verrassend eenvoudig opgelost worden met  één van mijn oude liefdes: de euclidische meetkunde.  Stel

|QS| = x      |SR| = y      |PS| = h

 

Leerlingen van het derde jaar kennen reeds de metrische eigenschap  x.y = h²  (2). Vermits de hoogte van de driehoek constant is (nl. h) volstaat het de basis x + y minimaal te maken.

Dit gebonden extremumprobleem wordt   normaal met afgeleiden aangepakt.  In mijn eigen leerboeken (anno 1957) staat het ook zo:  uit de identiteit (x + y)² = 4xy + (x - y)² of wegens (2)   (x + y)² = 4h² + (x - y)² blijkt dat (x + y)² en dus ook  x + y minimaal is als (x-y)² = 0, dus als x = y. Wegens (2) is dan x = y = h.

 

 
 

 


De minimale waarde van de basis |QR| = x + y is dus 2h.   De minimale oppervlakte van DPQR is dan 1.2h.h = h²

Dat slechts een deel van het probleem met euclidische meetkunde kon opgelost worden, zinde me niet.  Enkele dagen later vond ik dat ook het algemeen probleem met de meetkunde uit het derde jaar kan opgelost worden.  Opdat Opp(D PQR) = 12 moet |QR| = 8.  Het probleem is dan: construeer op de x-as een lijnstuk met lengte 8 dat vanuit P onder een rechte hoek gezien wordt.  Een beproefde heuristiek bestaat erin eerst één van de voorwaarden te laten vallen.  We construeren daarom een willekeurig lijnstuk [Q'R'] met lengte 8.  Alle punten van waaruit men [Q'R'] onder een rechte hoek ziet, liggen op een cirkel met middellijn [Q'R'].

 De punten op hoogte 3, die op die cirkel liggen zijn P' en P".  Door de cirkel te verschuiven langs de x-as tot P' of P" met P samenvalt, vindt men de punten P,  Q en R.  In onderstaande figuur is één oplossing uitgewerkt.

Merk nog op, dat als men uitgaat van een oppervlakte  9, de punten P' en P" zullen samenvallen.  Het probleem heeft dan één oplossing.  Als men de oppervlakte kleiner dan 9 kiest, bestaan de punten P' en P" niet. Het probleem heeft dan geen oplossing.

 

 


 

 


 

Zo, de wandeling is afgelopen.   Er blijven nog veel tochten te ondernemen in de wondere wereld van de "Koningin der Wetenschappen".  Wiskunde is in. Zelfs de filmwereld heeft een ode aan de wiskunde gebracht door de film "A Beautiful Mind", over het getormenteerde leven van wiskundige John Nash, met Oscars te bekronen. 

 

*     *      *

 

Ik bewaar veel goede herinneringen aan de vele contacten met "mijn" leerkrachten.  Nog een laatste advies: wat je aan inzet geeft, krijg je in het kwadraat terug aan arbeidsvreugde.  Een oud woord voor wiskundige is "wiskunstenaar".   Dàt te mogen worden, wens ik jullie allen toe.